Questão 14

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022) Considere os triângulos $Delta;ABC$ em que $ar{BC}=32$ e $frac{ar{AB}}{ar{AC}}=3$ . O maior valor possível para a altura relativa ao lato $ar{BC}$ é:

Gabarito:

Resolução:

$frac{AB}{AC}=frac{x}{y}=3 ightarrow x=3y$

$S_{ABC}=frac{32cdot h}{2}=frac{xcdot ycdot sen( heta )}{2}Rightarrow h=frac{3y^2cdot sen( heta )}{32}$

L. Cossenos:

$32^2=x^2+y^2-2xycdot cos( heta )Rightarrow 32^2=9y^2+y^2-6y^2cdot cos( heta )$

$y^2=frac{32^2}{10-6cdot cos( heta )}$

$h=frac{3cdot sen( heta )}{32}cdot (frac{32^2}{10-6cos( heta )})$

$h=frac{96cdot sen( heta )}{10-6cos( heta )}$

Derivando e igualando a zero, vem:

$cos( heta )=frac{3}{5}$ e $sen( heta )=frac{4}{5}$

e resulta:

$h=12$

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