Questão 7

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022)

Seja a equação do terceiro grau em $x$ :

$x^3+p_1x^2+p_{2}x+p_{3}=0$

onde $p_{1} < p_{2} < p_{3}$ são números primos menores que 100. Para que a razão entra a soma e o produto das raízes da equação seja a maior possível, o valor de $p_{2} + p_{3}$ deve ser:

144

152

162

172

196

Gabarito:

144

Resolução:

Essa questão é sem dúvidas uma das que mais perde tempo para resolver nessa prova. De qualquer modo, primeiramente, a partir da condição dada no enunciado, temos que:

$p_1<p_3 Rightarrow frac{p_1}{p_3}<1$

Seja $u$ a razão pedida, ou seja:

$u = frac{x_1+x_2+x_3}{x_1x_2x_3} = frac{p_1}{p_3}$

onde $x_i$ é a i-ésima raiz da equação mostrada no enunciado.

Queremos o maior valor de $u$ e sabemos que $p_i$ é primo, para $i=1,2,3$ . Seja, então, P o conjunto os primos menores que 100:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}.

Veja que P possui 25 termos. Além disso, é preciso escolher os primos de forma que ao escolher o $p_3$ , é necessário que o $p_1$ seja um ante-antecessor de $p_3$ , pois é necessário que $p_2$ seja um primo entre $p_1$ e $p_3$ . Para maximizar a razão $u$ , é preciso escolher numerador e denominador bem próximos, de modo a tentar obter uma fração próxima do valor unitário. Para isso, vamos começar escolhendo do maior primo para o menor, obtendo-se:

(i) $p_3 = 97, p_2 = 89 e p_1 = 83:$

$u = frac{83}{97} approx 0,856$

(ii) $p_3 = 89, p_2 = 83 e p_1 = 79:$

$u = frac{79}{89} approx 0,888$

(iii) $p_3 = 83, p_2 = 79 e p_1 = 73:$

$u = frac{73}{83} approx 0,880$

(iv) $p_3 = 79, p_2 = 73 e p_1 = 71:$

$u = frac{71}{79} approx 0,899$

(v) $p_3 = 73, p_2 = 71 e p_1 = 67:$

$u = frac{67}{73} approx 0,918$

(vi) $p_3 = 71, p_2 = 67 e p_1 = 61:$

$u = frac{61}{71} approx 0,859$

(vii) $p_3 = 67, p_2 = 61 e p_1 = 59:$

$u = frac{59}{67} approx 0,881$

(viii) $p_3 = 61, p_2 = 59 e p_1 = 53:$

$u = frac{53}{61} approx 0,869$

(ix) $p_3 = 59, p_2 = 53 e p_1 = 47:$

$u = frac{47}{59} approx 0,797$

(x) $p_3 = 53, p_2 = 47 e p_1 = 43:$

$u = frac{43}{53} approx 0,811$

(xi) $p_3 = 47, p_2 = 43 e p_1 = 37:$

$u = frac{37}{47} approx 0,787$

(xii) $p_3 = 43, p_2 = 37 e p_1 = 31:$

$u = frac{31}{43} approx 0,721$

Daí para frente, basta perceber que os valores são próximos de frações mais usualmente usadas, como 3/4, 2/3, 1/2 etc. Dessa forma, a maior fração é a do item (v):

$p_3 = 73, p_2 = 71 e p_1 = 67:$

$u = frac{67}{73} approx 0,918$

Logo, temos que:

$p_2 + p_3 = 71 + 73 = 144.$

Alternativa correta é a letra A.

Questão 7

IME 2021

Questões relacionadas

Questão 2

Questão 4

Questão 3

Questão 12