Questão 15

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022)

Seja o cone de revolução de raio de base $R$ e altura $frac{3R}{2}$ com a base apoiada em um solo horizontal.

Um ponto luminoso está localizado a uma altura $3R$ do solo e distante, horizontalmente, $2R$ do centro da base do cone. A área $S$ da região iluminada no cone é:

$pi R^2 sqrt{13}$

$2pi R^2 frac{sqrt{13}}{3}$

$pi R^{2} frac{sqrt{13}}{2}$

$pi R^{2}frac{sqrt{13}}{3}$

$frac{13}{4}pi R^{2}$

Gabarito:

$pi R^{2}frac{sqrt{13}}{3}$

Resolução:

Considerando a geometria do problema exposta na imagem abaixo

e considerando a projeção ortogonal do problema onde as retas r e s são os limites da região iluminada

obtemos os seguintes triângulos:

no qual podemos perceber que a fração iluminada da circunferência da base do cone é de $frac{120}{360}$ , assim calculamos a geratriz para podermos calcular a área lateral total do cone e dai descobrirmos a área iluminada:

$g^2=R^2+(frac{3R}{4})^2$

$g=sqrt{R^2+frac{9R^2}{4}}$

$g=sqrt{frac{13R^2}{4}}=frac{Rsqrt{13}}{2}$

Área lateral do cone:

$A_{lat}=picdot;Rcdot;g=picdot;Rcdot;(frac{Rsqrt{3}}{2})=frac{;sqrt{13}pi;R^2}{2}$

$A_{ilumindada}=frac{120}{360}cdot;A_{lat}=frac{;sqrt{13}pi;R^2}{3}$

Alternativa D

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