Questão 2

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase)

Suponha que a e b são raizes reais e diferentes da equação $4x^2 -4tx -1=0 (t epsilon mathbb{R} )$ . O intervalo [a,b] é o domínio da função

$f(x)=frac{2x-t}{x^2 +1}$ Seja $g(t)=max f(x)- minf(x)$ Determine g(0)

Gabarito:

Resolução:

Como queremos g(0), nós faremos t=0

$4x^2-4(0)x-1=0$

$a=frac{-1}{2}$ e $b=frac{1}{2}$

$f(x)=frac{2x}{x^2 +1}$

derivando:

$f(x)=frac{2left(-x^2+1 ight)}{left(x^2+1 ight)^2}$

essa função não tem nenhum ponto f'(x)=0, portando temos que observar que no intervalo $[a,b]=[frac{-1}{2},frac{1}{2}]$ ela é estritamente crescente, logo

$f(x)_{max}=f(frac{1}{2})$
$f(x)_{min}=f(frac{-1}{2})$

$g(0)=frac{4}{5}-(-frac{4}{5})=frac{8}{5}$

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