Questão 3

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022) Em um triângulo de vértices A (0, 0), B (2, 4) e C (6, 0), torna-se um ponto variável M sobre o lado AB. Desse ponto, traça-se a perpendicular ao lado AC que intercepta em Q.
Identifique o lugar geométrico descrito pelo ponto de interseção das retas BQ e CM e escreva a sua equação.

Gabarito:

Resolução:

A reta que passa pelos pontos AB é dada por $y=2x$
A reta que passa pelos pontos AC é dada por $y=0$

Assim, pela geometria do problema, a reta que passa por M e Q será uma reta no formato $x=alpha$ com $alpha;in;mathbb{R}|0leq alphaleq 2$ , uma vez que o ponto M é variável na reta e perpendicular ao lado AC do triângulo. Temos que o ponto M em função do parâmetro $alpha$ : $M(alpha, 2alpha)$ .

1) Vamos calcular a equação da reta $BQ$ considerando que Q é o ponto $Q(alpha,0)$ , pertencente a reta $x=alpha$ .

$y-y_0=m(x-x_0)$
$y-0=m(x-alpha)$
$m=frac{4-0}{2-alpha}$

Reta BQ: $y=frac{4x-4alpha}{2-alpha}$

2) Vamos considerar a equação da reta $CM$ considerando que C e M são pontos da reta:

$y=ax+b$

$left{egin{matrix} alpha a+b=2alpha\ 6a+b=0 end{matrix} ight.$

$a(alpha -6)=2alpha$

$a=frac{2alpha}{(alpha -6)}$

$b=-6a=frac{-12alpha}{(alpha -6)}$

$y=frac{2xalpha-12alpha}{(alpha -6)}$

3) Queremos a intersecção das retas $BQ$ e $CM$ :

$frac{4x-4alpha}{2-alpha}=frac{2xalpha-12alpha}{(alpha -6)}$

$(2x-2alpha)(alpha-6)=(2-alpha)(xalpha-6alpha)$

$2xalpha-12x-2alpha^2+12alpha=2xalpha -12alpha-xalpha^2+6alpha^2$

$xalpha^2-12x= 8alpha^2-24alpha$

$x(alpha^2-12)= 8alpha^2-24alpha$

$x= frac{8alpha^2-24alpha}{alpha^2-12}=frac{8alpha(alpha-3)}{alpha^2-12}$

4) Substituindo na primeira reta, para encontrar o valor de y:

$y=frac{4x-4alpha}{2-alpha}=frac{4(x-alpha)}{2-alpha}$

$y=frac{4}{2-alpha}[frac{8alpha(alpha-3)}{alpha^2-12}-alpha]$

$y=frac{4}{2-alpha}[frac{8alpha^2-24alpha-alpha^3+12alpha}{alpha^2-12}]$

$y=frac{4}{2-alpha}cdot frac{-alpha(alpha-6)(alpha-2)}{alpha^2-12}$

$y=frac{4alpha(alpha-6)}{alpha^2-12}$

5) Chamando $frac{4alpha}{alpha^2-12}$ de uma constante $k$ :

$k=frac{4alpha}{alpha^2-12}$

$x=kcdot2(alpha-3)$

$y=kcdot(alpha-6)$

Dividindo uma equação pela outra:

$frac{x}{y}=frac{2alpha-6}{alpha -6}$

$xalpha -6x=2alpha y-6y$

$alpha(x-2y) =6(x-y)$

$alpha=frac{6(x-y)}{x-2y}$

6) Voltando e substituindo a equação de $alpha$ em uma equação anterior:

$y=frac{4(x-alpha)}{2-alpha}$

$2y-alpha y =4x-4alpha$

$alpha (4-y)=(4x-2y)$

$alpha=frac{4x-2y}{4-y}$

$alpha=frac{4x-2y}{4-y}=frac{6(x-y)}{x-2y}$

$frac{2(2x-y)}{4-y}=frac{6(x-y)}{x-2y}$

$2x^2-4xy-xy+2y^2=3(4x-4y-xy+y^2)$

$2x^2-5xy+2y^2=12x-12y-3xy+3y^2$

$2x^2-2xy-y^2-12x+12y=0$

7) Vamos descobrir de qual curva se trata essa equação:

$Delta =B^2-4AC$

$Delta =(-2)^2-4cdot2(-1)$

$Delta =4+8=12$

Como $Delta >0$ trata-se de uma hipérbole rotacionada.

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