Questão 5

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase)

Considere o sistema a seguir $egin{cases} 3x + 2y - z = ky \ (1 - k)x - y + 4z = 0 \ 2x + y - kz = z end{cases}$

Determine o menor valor da constante real k que torna o sistema inderteminado. Para esse valor de k, encontre a solução x, y, z do sistema acima que minimiza o valor de

$(x-z)^2 + e^{x+y}-4|x|-2y$

Gabarito:

Resolução:

Para que o sistema seja indeterminado o determinante desse sistema de equação deve ser igual à zero, dessa forma:

$egin{vmatrix} 3 & (2-k)& -1\ (1-k)& -1 &4 \ 2 & 1 & (-1-k) end{vmatrix} = 0$

Calculando o determinante acima chegamos na seguinte equação:

$k^3-2k^2-5k+6=0$

Por inspeção verificamos que k=1 é raíz do polinômio,aplicando briot-ruffini, temos:

$(k-1)(k^2-k-6)=0$

$(k^2-k-6)=0$

$k=frac{1pmsqrt{(-1)^2-4(1)(-6)}}{2}$

Assim, temos as raízes:

$k=1,-2,3$

Resolvendo o sistema linear para cada um dos k's temos que:

k=1

x=-1 ; y=4 ;z=1

k=-2

x=-1; y=1 ; z=1

k=3

x=1; y=2; z=1

Fazendo k=2, temos:

$egin{cases} 3x + 2y - z = 2y \ (1 - 2)x - y + 4z = 0 \ 2x + y - 2z = z end{cases}$

$egin{cases} 3x-y=-4alpha \ 2x+y=-alpha end{cases}$ $5x=-5alpha$

$x=-alpha$

$S=left { (-alpha;alpha;alpha ight) |alphainmathbb{R}}$

$((x-z)^2+e^{x+y}-4left | x ight |-2y)_{min}$

$(4alpha-4left | x ight |-2alpha+1)_{min}$

Se $alphageq 0$

$(4alpha^2-6alpha+frac{9}{4}-frac{5}{4})_{min}$
$((2alpha^2-frac{3}{2})^2-frac{5}{4})_{min}$

$alpha=frac{3}{4}$

Valor mínimo: $frac{-5}{4}$

Se $alphaleq 0$

$(4alpha-4(-alpha)-2alpha+1)_{min}$
$(4alpha^2+2alpha+1)_{min}$

$alpha=frac{-1}{4}$

Valor minimo $frac{3}{4}$

Logo, a solução é

$S=left { -frac{3}{4};frac{3}{4};frac{3}{4} ight }$

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