Questão 69774

IME 2021

Matemática

(IME 2021) Considere que $a eq 0$ , $b eq 0$ e $(a+b) eq 0$ . Sabendo-se que $frac{a}{b}+frac{b}{a}=3$ , determine o valor de $frac{a^2+b^{2}}{2(a+b)^2}$ .

0,1

0,3

0,6

0,8

1,0

Gabarito:

0,3

Resolução:

Desenvolvendo a primeira expressão, temos:

$frac{a}{b} + frac{b}{a} = 3$

$frac{a^2+b^2}{ab} = 3$

$a^2+b^2 = 3ab$

Além disso, sabemos que:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a+b)^2 - 2ab = a^2 + b^2$

Substituindo no primeiro desenvolvimento, temos que:

$(a+b)^2 - 2ab = 3ab$

$(a+b)^2 = 5ab$

Substituindo as igualdades encontrados na expressão pedida pelo enunciado, temos:

$frac{a^2+b^2}{2(a+b)^2} = frac{3ab}{2cdot(5ab)} = frac{3ab}{10ab} = 0,3$

Portanto, a alternativa correta é a letra B.

Questões relacionadas

Questão 2

(IME - 2021/2022) Seja o conjunto de todos os valores de para os quais a soma dos termos da progressão assume um valor finito. Define-se a função ,...

Ver questão

Questão 4

(IME - 2021/2022) Quantos pares ordenados (x, y) de números inteiros satisfazem a equação 1/x + 1/y = 1/23?

Ver questão

Questão 3

(IME - 2021/2022) Considere o conjunto de todas as retas que são secantes ao gráfico da função e que passam pelo ponto O menor valor dentre os coeficientes angul...

Ver questão

Questão 12

(IME - 2021/2022) Para cada número n natural, seja a função real definida para cada , tal que ,de forma que: A função g(x) que atende &n...

Ver questão