Questão 7490

ITA 2000

Matemática

(ITA 2000) Duas retas r₁ e r₂ são paralelas à reta 3x - y = 37 e tangentes à circunferência x² + y² - 2x - y = 0. Se d₁ é a distância de r₁ até a origem e d₂ é a distância de r₂ até a origem, então d₁ + d₂ é igual a

Gabarito:

Resolução:

Equação da circunferência:

$\x^2+ y^2 - 2x - y = 0;;;;; ightarrow extrm{;completando quadrados:}; ightarrow\ \(x-1)^2+(y-frac{1}{2})^2=frac{5}{4}$

Se as retas são paralelas e tangentes à circunferência, então a distância entre elas é igual ao diâmetro da circunferência:
Agora, note que a origem (0, 0) pertence à circunferência, então d₁+ d₂é igual à distância entre as retas, ou seja, é igual ao diâmetro da circunferência:

$\ extrm{raio = }frac{sqrt{5}}{2};;;;;; ightarrow ;;; extrm{diâmetro = }sqrt{5}; =d_1+d_2$

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