Questão 8172

ITA 2000

Matemática

(Ita 2000) Considere uma pirâmide regular com altura de . Aplique a esta pirâmide dois cortes planos e paralelos à base de tal maneira que a nova pirâmide e os dois troncos obtidos tenham, os três, o mesmo volume. A altura do tronco cuja base é a base da pirâmide original é igual a

Gabarito:

Resolução:

1) Seja V o volume da pirâmide original, o volume do tronco cuja base da pirâmide original é V/3 e o da pirâmide original que se obtém retirando-se esse tronco da pirâmide original é V-V/3 = 2V/3.

2) A partir da semelhança das duas pirâmides, sendo h a altura pedida, temos:

$LARGE left (frac{frac{6}{sqrt[3]{9}}-h}{frac{6}{sqrt[3]{9}}} ight )^3=frac{frac{2V}{3}}{V}Leftrightarrowfrac{frac{6}{sqrt[3]{9}}-h}{frac{6}{sqrt[3]{9}}}=sqrt[3]{frac{2}{3}}Leftrightarrow$

$oxed{h=2(sqrt[3]{3}-sqrt[3]{2}) cm}$

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