Questão 7

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 1ª FASE)

Um triângulo está inscrito numa circunferência de raio 1cm O seu maior lado mede 2cm e sua área é de $frac{1}{sqrt2}$ cm². Então, o menor lado do triângulo, em cm, mede

Gabarito:

Resolução:

Podemos considerar o triângulo descrito como retângulo, e nomeando seus catetos por a e b, e efetuando o cálculo de sua área e sob o teorema de Pitágoras, podemos obter:

I - $frac{a.b}{2} = frac{sqrt{2}}{2} Rightarrow a= frac{sqrt{2}}{b}$ II - $a^{2}+b^{2} = 4$

Nos quais, substituindo-os, temos:

$(frac{sqrt{2}}{5})^{2} + b^{2} = 4 Rightarrow frac{2}{b^{2}}+ b^{2} = 4$ $Rightarrow$ $b^{2} = y$

$frac{2}{y}+y=4$

$y^{2} -4y+2=0$

$y= frac{4pm 2sqrt{2}}{2} = 2pm sqrt{2}$

Desse modo, podemos considerar b o menor lado do triângulo sem perda de generalidade:

$y= b^{2} =2-sqrt{2}$ e $b = sqrt{2 - sqrt{2}}$

Gabarito: b)

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