Questão 10

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 1ª FASE)

Um triângulo retângulo tem perímetro igual a $lsqrt{5}$ , em que $l$ é comprimento da hipotenusa. Se $alpha$ e $eta$ são seus ângulos agudos, com $alpha$ < $eta$ , então $senleft(eta - alpha ight )$ é igual a

A

$5-2sqrt{5}$

B

$-6+3sqrt{5}$

C

$sqrt{16sqrt{5}-35}$

D

$sqrt{20sqrt{5}-44}$

E

$sqrt{18sqrt{5}-40}$

Gabarito:

$sqrt{20sqrt{5}-44}$

Resolução:

$alpha +eta=90$

$alpha=90-eta$ (i)

$sen(eta-alpha) =x$ (ii)

Substituindo (i) em (ii):

$sen(eta-(90-eta)) =x$

$sen(eta-90+eta) =x$

$sen(2eta-90) =x$

$sen(2eta-90) =cos(2eta)$

$x=cos(2eta)$

$P=lsqrt5$ e $P=a+b+l$

$a+b+l=lsqrt5$

$a+b=lsqrt5-l$

$a+b=l(sqrt5-1)$

$(a+b)^2=(l(sqrt5-1))^2$

$a^2+2ab+b^2=l^2(sqrt5-1)^2$

$2ab+l^2=l^2(6-2sqrt5)$

$2ab=l^2(6-2sqrt5)-l^2$

$2ab=l^2((6-2sqrt5)-1)$

$frac{2ab}{l^2}=5-2sqrt5$

$2cdotfrac{a}{l}cdot frac{b}{l}=5-2sqrt5$ (iii)

Em relação ao ângulo $alpha$ , temos:

$sen(alpha)=frac{a}{l}$

$cos(alpha)=frac{b}{l}$

Voltando à equação (iii):

$2cdot sen(alpha)cdot cos(alpha)=5-2sqrt5$

$sen(2alpha)=5-2sqrt5$

Sabe-se que:

$cos(2eta)=sqrt{1-sen^2(2alpha)}$

$cos(2eta)=sqrt{1-(5-2sqrt5)^2}$

$cos(2eta)=sqrt{1-45+20sqrt5}$

$cos(2eta)=sqrt{20sqrt5-44}$

Resposta: alternativa d

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