Questão 12

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 1ª FASE)

Considere as afirmações a seguir:

I. Se z e w são números complexos tais que z−iw = 1−2i e w−z = 2+3i, então z²+w² = −3+6i.

II. A soma de todos os números complexos z que satisfazem 2|z|² + z² = 4 + 2i é igual a zero.

III. Se z = 1 − i, então z⁵⁹ = 2²⁹(−1 + i).

É (são) verdadeira(s)

apenas I.

apenas I e II.

apenas I e III.

apenas II e III.

I, II e III.

Gabarito: apenas I e II.

Resolução:

Afirmativa I -

$left{egin{matrix} z-iw=1-2i\ w-z=2+3y end{matrix} ight.$

$w-iw=3+i$ $Rightarrow$ $(1-i)w = 3+i$ $Rightarrow$ $w= frac{3+i}{1-i}=frac{3+i}{1-i}. frac{1+i}{1+i}=1+2i$

Já que $w-z=2+3i$ e $w=1+2i$ temos:

$1+2i-z=2+3i$ $Rightarrow$ $z=-1-i$

$z^{2} +w^{2}=(-1-i)^{2}+(1+2i)^{2} = 2i+1+4i+4i+4i^{2} =$ $-3+6i$

Afirmativa verdadeira.

Afirmativa II -

$left{egin{matrix} 3x^{2}+y^{2}=4\ xy=1 end{matrix} ight.$ $Rightarrow$ $left{egin{matrix} x=pm 1/y=pm 1 \ x=pm frac{1}{sqrt{3}}/y=pm 3 end{matrix} ight.$

$Z_{1}=1+i, Z_{2}= -1-i, Z_{3}=frac{1}{sqrt{3}}+sqrt{3i}, Z_{4} = -frac{1}{sqrt{3}}-sqrt{3i}$

Desse modo teremos $Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}+Z_{4}=0$ , e portanto, afirmativa verdadeira.

Afirmativa III -

$Z=1-i$ $Rightarrow$ $Z^{2}=-2i$ $Rightarrow$ $z^{58}= (-2i)^{29}$

Sabendo, então que: ( $z^{58}= -2^{29}.i^{29}$ ) e ( $i^{29}=i$ )

Podemos obter:

$Z^{58}= -2^{29}.i^{29}$ $Rightarrow$ $Z^{59}=-2^{29}.i.(1-i)$

$Z^{59}=2^{29}.(1-i)$

Afirmativa falsa.

Gabarito: b)

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