Questão 28
ITA 2016
(ITA - 2016 - 2ª FASE)
Considere as circunferências
O triângulo ABC satisfaz as seguintes propriedades:
a) o lado coincide com a corda comum a
e
b) o vértice B pertence ao primeiro quadrante;
c) o vértice C pertence a e a reta que contém
é tangente a
Determine as coordenadas do vértice C.
Gabarito:
Resolução:
Para descobrir os raios e centros C1 e C2 das circunferências e
, devemos comparar suas equações com a equação geral da circunferência
Dessa forma, encontraremos:
C1(4,-2) e R1=
C2(1,4) e R2=5
Resolvendo o sistema de equações a seguir, encontraremos as coordenadas dos pontos de tangência A e B.
Fazendo (I)-(II):
Resolvendo o sistema por substituição, chegamos a uma equação de 2º grau, com solução:
, sendo então:
A(-2,0) e B(6,4)
Se é tangente à circunferência
, então
é perpendicular à
.
O coeficiente angular da reta suporte do segmento de reta pode ser calculado como:
E o coeficiente angular da reta suporte de , por ser perpendicular à
, será:
Para descobrir a equação da reta r: y=mx+n, substituímos as coordenadas de A na equação.
Para saber as cooredenadas do ponto C, basta saber quais os pontos de interseção da circunferência com a reta r.
Sabemos que um desses pontos é A(-2,0), que será uma das soluções do sistema a seguir, portanto nos interessa a outra solução, que corresponderá ao ponto C.
Resolvendo por substituição, obtemos:
Dessa forma, o ponto C possui as coordenadas