Questão 21

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 2ª FASE)

Seja f a função definida por $f(x) = log_{x+1}(x^2 - 2x - 8)$ . Determine:

a) O domínio $D_f$ da função f.

b) O conjunto de todos os valores de $x in D_f$ tais que f(x) = 2.

c) O conjunto de todos os valores de $x in D_f$ tais que f(x) > 1.

Gabarito:

Resolução:

a) Domínio D_f

Para a base:

_I)

$x>-1$

e

II) $x+1 eq 1$

$x eq 0$

Para o logaritmando:

III) $x^2-2x+8>0$

$x<-2$ ou $x>4$

Resposta da letra a: Interseção das três condições

$D_f=left { x in mathbb R/ x>4 ight }$

b) O conjunto de todos os valores de $x in D_f$ tais que f(x) = 2

$log_{(x+1)}{(x^2-2x-8)}=2$

${x^2-2x-8}=(x+1)^2$

${x^2-2x-8}=x^2+2x+1$

$4x = -9$

$x = -frac{9}{4}$

Resposta da letra b: -9/4 não está incluído no domínio, portanto S={ }.

c) O conjunto de todos os valores de $x in D_f$ tais que f(x) > 1.

Como x>4, f(x) é crescente. Temos então:

$log_{(x+1)}{(x^2-2x-8)}>1$

$x^2-2x-8>x+1$

$x^2-3x-9>0$

(I) $x< frac{3-3sqrt5}{2}$ ou (II) $x> frac{3+3sqrt5}{2}$

Resposta da letra c: Os valores de (I) não pertencem ao domínio da função, portanto o conjunto solução é:

$S=left { x in mathbb R/ x>frac{3+3sqrt5}{2} ight }$

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