Questão 23

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 2ª FASE)

Um hexágono convexo regular H e um triângulo equilátero T estão inscritos em circunferências de raios $R_H$ e $R_T$ , respectivamente. Sabendo-se que H e T têm mesma área, determine a razão $frac{R_H}{R_T}$ .

Gabarito:

Resolução:

O enunciado estabeleceu que as áreas do hexágono (A_H) e do triângulo(A_T) inscritos em duas circunferências de raios RH e RT, respectivamente, tem o mesmo valor.

A_H = A_T

Para determinar a razão R_H/R_T, é necessário escrever as áreas dos polígonos inscritos em função do raio da circunferência.

Área do hexágono:

$A_H=6cdot A$ ,

sendo A a área do triângulo equilátero de lado R_H.

(I) $A_H=6cdot frac{R_H^2 sqrt3}{4}=3cdot frac{R_H^2 sqrt3}{2}$

Área do triângulo:

A = (b.h)/2

O centro da circuiferência é o baricentro no triângulo, e sendo assim divide a altura em segmentos proporcionais.

$R_T=frac{2}{3}H_T$

$H_T = frac{3}{2}R_T$

Para escrever o lado em função do raio, usaremos a fórmula da altura do triângulo equiátero:

$H_T=frac{L_Tsqrt3}{2}$

$frac{3}{2}R_T= frac{L_Tsqrt3}{2}$

$L_T = frac{3R_T}{sqrt3}=sqrt3R_T$

Substituindo H_T e L_T em A_T:

_(II)

Igualando as áreas A_H e A_T:(I) = (II)

$A_H=A_T$

$frac{3R^2_H sqrt3}{2}=frac{3R_T^2sqrt3}{4}$

$frac{R_H^2}{R_T^2}=frac{1}{2}$

$frac{R_H}{R_T}=frac{1}{sqrt2}=frac{sqrt2}{2}$

RESPOSTA: $frac{R_H}{R_T}=frac{sqrt2}{2}$

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