Questão 27

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 2ª FASE)

Sejam a, b, c números reais com $a eq0$

a) Mostre que a mudança $x+frac{1}{x}=z$ transforma a equação $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$ numa equação de segundo grau.

b) Determine todas as raízes da equação $x^4+3x^3-2x^2+3x+1=0$

Gabarito:

Resolução:

SOLUÇÃO DA LETRA A

Primeiramente, elevaremos os dois termos da equação $x+frac{1}{x}=z$ ao quadrado:

$left ( x+frac{1}{x} ight )^2=z^2$

$x^2+2+left ( frac{1}{x} ight )^2=z^2$

$x^2+left ( frac{1}{x} ight )^2=z^2-2$ (i)

Dividindo-se a equação $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$ por $x^2$ , obtemos:

$ax^2+bx+c+frac{b}{x}+frac{a}{x^2}=0$

$a(x^2+frac{1}{x^2})+b(x+frac{1}{x})+c=0$ (ii)

Substituindo o valor de z e (i) em (ii), temos:

$a(z^2-2)+b(z)+c=0$ (iii)

A equação (iii) é uma equação de segundo grau.

SOLUÇÃO DA LETRA B

$x^4+3x^3-2x^2+3x+1=0$

Assim como na letra a, utilizaremos z como variável auxiliar, transformando a equação em uma equação quadrática.

$frac{(x^4+3x^3-2x^2+3x+1)}{x^2}=frac{0}{x^2}$

$x^2+3x-2+frac{3}{x}+frac{1}{x^2}=0$

$x^2+frac{1}{x^2}+3(x+frac{1}{x})-2=0$

Substituindo $x^2+left ( frac{1}{x} ight )^2=z^2-2$ e $x+frac{1}{x}=z$ , teremos:

$z^2-2+3z-2=0$

$z^2+3z-4=0$

Resolvendo a equação, obtemos:

$z=-4$ ou $z=1$

Agora, precisamos retornar a equação para a variável x:

1) para z=1:

$x+frac{1}{x}=1$

$x^2-x+1=0$

$Delta =-3$

$sqrtDelta =isqrt3$

$x_1 =frac{1+isqrt3}{2}$

$x_2 =frac{1-isqrt3}{2}$

2) para z=-4:

$x+frac{1}{x}=-4$

$x^2+4x+1=0$

$x_3=frac{-4+sqrt12}{2}=-2+sqrt3$

$x_3=frac{-4+sqrt12}{2}=-2+sqrt3$

$x_4=frac{-4-sqrt12}{2}=-2-sqrt3$

$S= left { -2+sqrt3,-2-sqrt3,frac{1+isqrt3}{2},frac{1-isqrt3}{2} ight }$

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