Questão 13
ITA 2016
(ITA - 2016 - 1ª FASE)
Sejam λ uma circunferência de raio 4 cm e uma corda em λ de comprimento 4 cm. As tangentes a λ em P e em Q interceptam-se no ponto R exterior a λ. Então, a área do triângulo PQR, em cm2 , é igual a
Gabarito:
Resolução:
Sendo o centro da circunferência, temos que os segmentos
e
são iguais ao raio da circunferência, ou seja
e
Como o comprimento da corda é também igual a 4, temos um triângulo equilátero
, conforme figura abaixo
Traçando as retas tangentes à circunferência em P e Q, temos a seguinte configuração
Pelo Teorema do Bico (Teorema das Tangentes Comuns), temos que
Traçando então o segmento , temos que os triângulos
e
são congruentes (critério de congruência LAL). Com isso, o segmento
divide o ângulo PÂQ em dois ângulos iguais a 30º.
Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360º, temos que, no quadrilátero APRQ, o ângulo , conforme figura abaixo
Então, basta calcular a área do
Para isso, precisamos calcular o valor dos lados e
. Basta utilizar a tangente de 30º no
:
Portanto, temos: