Questão 15

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 1ª FASE)

Seja p o polinômio dado por p(x) = x⁸ + x^m − 2xⁿ , em que os expoentes 8, m, n formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a 14. Considere as seguintes afirmações:

I. x = 0 é uma raiz dupla de p.

II. x = 1 é uma raiz dupla de p.

III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula.

Destas, é (são) verdadeira(s)

apenas I.

apenas I e II.

apenas I e III.

apenas II e III.

I, II e III.

Gabarito: apenas I e III.

Resolução:

Afirmativa I-

x=0 é uma raiz dupla de p

Afirmativa verdadeira.

Afirmativa II -

p(1)=0 / p'(x)=8 $x^{7}$ + 4 $x^{3}$ - 4 $x$

p'(1)=8

1 não é raiz dupla de p

Afirmativa falsa.

Afirmativa III -

$x^{2}=frac{-1+isqrt{7}}{2}$

$x=pm frac{sqrt{-1-isqrt{7}}}{2}$

Tais valores são raízes com a parte imaginária não nula.

Afirmativa verdadeira.

Gabarito: c)

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