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Questão 18

ITA 2016
Matemática

(ITA - 2016 - 1ª FASE)

Considere o polinômio p com coeficientes complexos definido por

p(z) = z4 + (2 + i)z3 + (2 + i)z2 + (2 + i)z + (1 + i).

 

Podemos armar que

A
nenhuma das raízes de p é real.
B
não existem raízes de p que sejam complexas conjugadas.
C
a soma dos módulos de todas as raízes de p é igual a 2 + √ 2.
D
o produto dos módulos de todas as raízes de p é igual a 2 √ 2.
E
o módulo de uma das raízes de p é igual a √ 2.

Gabarito: o módulo de uma das raízes de p é igual a √ 2.

Resolução:

Se: 

p(z)= z^{4}+(2+i)z^{3}+(2+i)z^{2}+(2+i)z+1+i 

Então: 

p(z)= z^{4}-1+(2+i)z^{3}+(2+i)z^{2}+(2+i)z+2+i

p(z)= (z^{2}+1) (z^{2}+1) (z+1+i)

Desse modo, as raíses de p(z) são {{-i,i,-1,-1-i}}

(-i) = 1, (i) = 1, (-1) = 1 e (-1-i) = sqrt{2}

 

Sendo assim, o módulo de uma das raízes de p é igual a sqrt{2}

Gabarito: e) 

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