Questão 20

ITA 2016

Matemática

(ITA - 2016 - 1ª FASE)

Em um triângulo equilátero ABC de lado 2, considere os pontos O, M e N pertencentes aos lados , e , respectivamente, tais que

a) O é o ponto médio de ;

b) M é o ponto médio de ;

c) ON é a bissetriz do ângulo AÔC.

Então, o comprimento do segmento é igual a

Gabarito:

Resolução:

Podemos pensar o seguinte triângulo equilátero com altura $ar{CP}$ , lado 2 e com a seguinte bissetriz interna:

Desse modo, aplicando o triângulo NCM à lei dos cossenos, temos:

$MN^{2}=CM^{2}+CN^{2}-2.CM.CN,cos60$ °

$MN^{2}=1+12-6sqrt{3}-3+sqrt{3}$

$MN^{2}sqrt{10-5sqrt{3}}$

Gabarito: d)

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