Questão 50

ITA 2021

Matemática

(ITA - 2021 - 1ª FASE) Seja ABCD um quadrilátero convexo com diagonais $overline{AC}$ e $overline{BD}$ . Considere as afirmações:

I. Se as diagonais $overline{AC}$ e $overline{BD}$ têm mesmo comprimento e se intersecam ortogonalmente, então ABCD é um losango.

II. Se as diagonais $overline{AC}$ e $overline{BD}$ dividem o quadrilátero ABCD em quatro triângulos de mesma área, então ABCD é um paralelogramo

III. Se o ponto de interseção das diagonais $overline{AC}$ e $overline{BD}$ é o centro do círculo que circunscreve o quadrilátero ABCD, então ABCD é um retângulo.

É(são) VERDADEIRA(S):

Apenas I.

Apenas II.

Apenas III.

Apenas I e II.

Apenas II e III.

Gabarito:

Apenas II e III.

Resolução:

I. Falso. Podemos escolher segmentos perpendiculares com tamanhos aleatórios como no exemplo abaixo, não obtendo um losango:

II. Verdadeiro.

Logo, $frac{xy}{2}senpropto =frac{xomega }{2}sen heta =frac{omega z}{2}sen propto=frac{yz}{2}sen heta$

x = y = z = w, onde teremos um paralelogramo

III. Verdadeiro.

Gabarito: e)

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