Questão 2

ITA 2021

Matemática

(ITA - 2021 - 2ª FASE) Determine todos os valores do número real a para os quais a matriz

$egin{pmatrix} 1 &a^{3} &-a &3 &2 \ 2 &a^{2} &1 &a^{3} &a \ 0 & 0 &0 &a &-a^{2} \ -a &0 &0 &0 &3 \ a^{2} &0 &0 &-3 & 0 end{pmatrix}$

é não singular.

Gabarito:

Resolução:

1 - Uma matriz é singular quando o det. é nulo, logo ela é não singular quando seu det é não nulo.

2 - Para facilitar os cálculos deve-se reduzir a matriz à sua forma escalonada.

2.1 - Trocando as filas 1 e 5:

$egin{pmatrix} a^{2} &0 &0 &-3 &0 \ 2 & a^{2} &1 &a^{3} &a \ 0 & 0 &0 & a & -a^{2}\ -a& 0 &0 &0 &3 \ 1 &a^{3} &-a &3 &2 end{pmatrix}$

2.2 - Cancelando o primeiro coeficiente na fila 2 realizando $Fila 2=fila2-frac{2}{a^{2}}.fila1$ , cancelando o primeiro coeficiente na fila 4, realizando $Fila 4=fila4-frac{1}{a}.fila1$ e cancelando o primeiro coeficiente na fila 5, realizando $Fila 5=fila5-frac{1}{a^{2}}.fila1$

$egin{pmatrix} a^{2} &0 &0 &-3 &0 \ 0 & a^{2} & 1 & frac{a^{5}+6}{a^{2}} & a\ 0 &0 &0 & a &-a^{2} \ 0 &0 & 0 & frac{-3}{a} &3 \ 0 &a^{3} & -a & frac{3a^{2}+3}{a^{2}} & 2 end{pmatrix}$

3 - Trocando as filas 2 e 5:

$egin{pmatrix} a^{2} & 0 & 0 & -3 & 0\ 0 & a^{3} & -a & frac{3a^{2}+3}{a^{2}} & 2\ 0 & 0 & 0 & a & -a^{2}\ 0 &0 &0 & -frac{3}{a} & 3\ 0 & a^{2} & 1 & frac{a^{5}+6}{a^{2}} &a end{pmatrix}$

4 - Cancelando o primeiro coeficiente da fila 5, realizando $Fila 5: fila5-frac{1}{a}.fila2$

$egin{pmatrix} a^{2} &0 &0 &-3 &0 \ 0 & a^{3} & -a & frac{3a^{2}+3}{a^{2}} &0 \ 0& 0 &0 &a &-a^{2} \ 0 & 0 & 0& -frac{3}{a} & 3\ 0 & 0 & 2 & frac{a^{6}+6a-3a^{2}-3}{a^{3}} &frac{a^{2}-2}{a} end{pmatrix}$

5 - Trocando as filas 3 e 5, em seguida, trocando as filas 4 e 5:

$egin{pmatrix} a^{2} &0 &0 &-3 &0 \ 0 & a^{3} &-a & frac{3a^{2}+3}{a^{2}} &2 \ 0 & 0 & 2 & frac{a^{6}+6a-3a^{2}-3}{a^{3}} & frac{a^{2}-2}{a}\ 0 & 0 & 0 & a & -a^{2}\ 0 & 0 & 0 & -frac{3}{a} &3 end{pmatrix}$

6 - Cancelando o primeiro coeficiente na fila 5:

$egin{pmatrix} a^{2} &0 &0 &-3 &0 \ 0 & a^{3} &-a & frac{3a^{2}+3}{a^{2}} &2 \ 0 & 0 & 2 & frac{a^{6}+6a-3a^{2}-3}{a^{3}} & frac{a^{2}-2}{a}\ 0 & 0 & 0 & a & -a^{2}\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$

O determinante da matriz equivale ao produto diagonal principal da matriz. Logo, o determinante é igual a 0, fazendo com que essa matriz seja sempre singular.

Em outras palavras, não existe nenhum valor $ain mathbb{R}|$ a matriz é não singular

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