Questão 4

ITA 2021

Matemática

(ITA - 2021 - 2ª FASE) Determine todos os pontos (x,y) que pertencem à circunferência de centro (5,0) e raio 5, que satisfazem a equação:

$sqrt{3x-y-4}=sqrt{x^{2}-7x-5y-4}.$

Gabarito:

Resolução:

Pela equação do enunciado temos:
$sqrt{3x-y-4}=sqrt{x^{2}-7x-5y-4}.$

$3x-y-4=x^2-7x-5y-4$

$10x+4y=x^2$

Pela equação de uma circunferência de raio r=5 e centro em (5,0), temos:
$x^{2}-10x+25+y^{2}=25$
substituindo $x^2$ , temos:

$4y+10x-10x+25+y^{2}=25$

$y^{2}+4y=0 ightarrow y.(y+4)=0$

$y=0$ ou $y=-4$

Para $y=0 ightarrow (x-5)^{2}+0^{2}=5^{2}$

$x-5=pm 5$

$x=10$ ou $x=0$

Para $y=-4$ $ightarrow (x-5)^{2}+(-4)^2=5^2$

$(x-5)=pm3$

$x=8$ ou $x=2$

Testando a condição de existência das raízes quadradas do enunciado:

As raízes testadas: $yleq 3x-4$

$(10, 0)= V (sqrt26)$

$(0, 0)=$ Não satisfaz a condição de existência

$(8, -4)= V (sqrt24)$

$(2, -4)= V (sqrt6)$

Então, os pontos são (10, 0), (8, -4) e (2, -4).

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