Questão 6

ITA 2021

Matemática

(ITA - 2021 - 2ª FASE) Considere $z=a(sqrt{3}+i)epsilon mathbb{C}$ , onde $a epsilon mathbb{R}$ . Determine todos os números reais a para os quais $z^{7}$ e $z^{13}$ estão à mesma distância de $z$ no plano complexo.

Gabarito:

Resolução:

$z=a(sqrt3 + i)$

Forma trigonométrica:

$z=2a.(frac{sqrt3}{2}+i.frac{1}{2}) ightarrow z=2a.(cos30^{o}+i.sen30^{o})$

$z=2a.cis(30^{o})$

$z^{7}=(2a)^{7}.cis(7.30^{o})=128a^{7}.cis(210^{o})=128.cis(180^{o}+30^{o})$

$z^{13}=(2a)^{13}.cis(13.30^{o})=2^{13}.a^{13}.cis(390^{o})=$

$2^{13}.a^{13}.cis(360^{o}+30^{o})=2^{13}.a^{13}.cis(30^{o})$

$2^{7}.a^{7}+2a=2^{13}.a^{13}-2a ightarrow 2^{7}.a^{7}+2a+2a=2^{13}.a^{13}$

$2^{7}.a^{7}+4a=2^{13}.a^{13} (:4a) ightarrow 2^{5}.a^{6}+1=2^{11}.a^{12}$

Chamando a⁶ de $b$ :

$2^{11}.b^{2}-2^{5}.b-1=0$

$Delta = 2^{10}-4.2^{11.(-1)}=2^{10}.(1+2^{3})=2^{10}.9$

$sqrt{Delta}=sqrt{2^{10}.9}=2^{5}.3=32.3=96$

Logo,

$b=frac{2^{a}pmsqrt{Delta}}{2.2^{11}}=frac{32pm32.3}{2^{12}} (:32)$ temos

$frac{1}{2^{7}}pm frac{3}{2^{7}}=frac{1}{2^{7}}(1pm3)$

$b=frac{1}{32}$ ou $b=-frac{1}{64}$

Porém, $a epsilon mathbb{R}$ e $a^{6}=b$ , logo $b$ deve ser positivo

$b=frac{1}{32} ightarrow a^{6}=frac{1}{2^{5}}Rightarrow a=pmsqrt[6]{frac{1}{32}}=pmsqrt[6]{2^{-5}}=pmfrac{sqrt[6]{2}}{2}$

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