Questão 8

ITA 2021

Matemática

(ITA - 2021 - 2ª FASE) Seja P uma pirâmide regular com base quadrada. Suponha que os centros das esferas inscrita e circunscrita a P coincidam. Determine a razão entre as áreas das esferas circunscrita e inscrita a P.

Gabarito:

Resolução:

Seja $r$ o raio da circunferência inscrita e $R$ o raio da circunferência circunscrita à pirâmide.

Seja $2l$ o lado do quadrado que compõe a base da pirâmide. Seja $C$ o centro das esferas.

Veja a representação do desenho acima:

Do triângulo com vértice ABD podemos destacar que:

$m^2 = l^2 + r^2 (A)$

E do triângulo com vértices CDE da pirâmide podemos destacar que:

$m^2 + l^2 = R^2 (B)$

Das equações A e B temos que:

$r^2 + 2l^2 = R^2 (I)$

Voltando ao triângulo ABD da pirâmide, por semelhança temos que:

$frac {R+r}{y} = frac {l}{r} ightarrow$ (semelhança entre os triângulos ACF e ABD)

e $y= frac {r cdot (R +r)}{l} (C)$

Como, por Pitágoras, temos que:

$(R+r)^2 +l^2 = (l+y)^2(D)$

Substituindo y de C em D, temos que:

$(R+r)^2 +l^2 = [l + frac {(R + r) cdot r}{l}]^2 (II)$

Agora, devemos isolar $l$ das equações I e II:

Equação I: $l^2 = frac {R^2 - r^2}{2}$

Equação II: $(R + r)^2 + l^2 = frac {1}{l^2} [l^2 + (R+r)r]^2$

$(R+r)^2 + frac {(R+r) cdot (R-r)} {2} = frac {2}{(R+r)(R-r)} [frac {(R+r)(R-r)}{2} + (R+r)cdot r]^2$ $ightarrow$

$ightarrow (R+r)^2 + frac {(R+r) cdot (R-r)} {2} = frac{2 (R+r)}{(R-r)} [frac {R-r}{2}+r]^2 ightarrow$

$ightarrow (R+r) + frac {(R-r)}{2} = frac {2}{R-r} (frac {R+r}{2})^2 ightarrow$

$ightarrow frac {2(R+r)+R-r}{2} = frac{2}{R-r} (frac{R+r}{2})^2 ightarrow$

$ightarrow frac {3R+r}{ ot{2}} = frac{ ot{2}}{R-r} cdot (frac {R+r}{ ot{2}}) ightarrow$

$ightarrow (3R +r) (R-r) = (R+r)^2 ightarrow$

$ightarrow ot{3R^2} (-3Rr) + (Rr) - r^2 = ot{R^2} + (2Rr) + r^2 ightarrow$

$ightarrow 2R^2 -4Rr -2r^2 = 0 ightarrow$

$R^2 -2Rr -r^2 ightarrow$ Dividindo tudo por $R^2$

$1 - 2frac {r}{R} - frac {r^2}{R^2} = 0$ e queremos $frac {r^2}{R^2}$

Chamando de x $frac {r}{R}$ temos:

$1-2x-x^2=0 ightarrow x^2+2x-1=0$

$Delta = 4+4=8$ em $x = frac {-2 pm sqrt{8}}{2}$ mas $x > 0$

$ightarrow x = sqrt{2}-1$ . Como queremos $x^2$ temos $x^2 = frac {r^2}{R^2} = (sqrt{2}-1)^2 =$

$= 2-2sqrt{2} +1 =$

$= 3 - 2sqrt{2}$

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