Questão 14

ITA 2022

Física

(ITA - 2022 - 1ª fase) Considere um solenoide muito longo com n₁ voltas por unidade de comprimento e raio a. Situado no lado externo do solenoide, há outro solenoide de comprimento L. com n₂ voltas por unidade de comprimento e raio b (b > a). Metade do solenoide externo possui resistividade ρ₁ e a outra metade ρ₂. Os fios que compõem o solenoide possuem uma área transversal A e seus terminais estão ligados em curto. A corrente que passa pelo solenóide interno varia linearmente com o tempo, I = I₀t. Desprezando a auto-indutância dos solenoides, a corrente induzida no solenóide externo pode ser escrita por

$frac{n_1mu_0I_0a^2A}{b( ho_1 + ho_2)}$

$frac{n_1mu_0I_0bA}{( ho_1 + ho_2)}$

$frac{n_1n_2mu_0I_0pi a^2A}{b( ho_1 + ho_2)}$

$frac{n_1mu_0I_0a^2A( ho_1 + ho_2)}{n_2Lb ho_1 ho_2}$

$frac{n_1mu_0I_0a^2A}{n_2Lb( ho_1 + ho_2)}$

Gabarito:

$frac{n_1mu_0I_0a^2A}{b( ho_1 + ho_2)}$

Resolução:

O campo produzido pela corrente que circula no solenóide interno varia com o tempo, já que a corrente varia no tempo.

Isso implica que há uma variação no fluxo através do solenóide externo.

O campo produzido pelo solenóide interno é dado por:

$B_{interno} = mu_0 n_1 I_0t$ .

A intensidade da ddp induzida no solenóide é dada por:

$U = frac{dphi}{dt}$

E $phi = N_2B_{interno}pi a^2$ , em que N₂ representa o número de espiras do solenoide externo.

Sendo assim, $U = n_2Lpi a^2 mu_0 n_1 I_0$ .

A resistência do solenóide é dada pela soma das resistências de cada metade.

$R_{total} = R_1 + R_2$ .

$R_1 = frac{ ho_1l}{2A}$

$R_2 = frac{ ho_2l}{2A}$

$R_{total} = frac{l( ho_1 + ho_2)}{2A}$ .

Em que l é o comprimento total do fio, e é dado por

$l = 2pi b*L*n_2$

A corrente pelo solenóide externo é dada por:

$i = frac{U}{R_{total}}$

$i = frac{2An_2Lpi a^2 mu n_1 I_0}{2pi b*L*n_2( ho_1+ ho_2)}$ .

$i = frac{Aa^2mu n_1I_0}{b( ho_1+ ho_2)}$ .

Reorganizando os termos podemos notar que ela é equivalente à alternativa A.

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