Questão 7

ITA 2022

Física

(ITA - 2022 - 1ª fase) No laboratório de mecânica, carrinhos de massa M e 2M são unidos por uma mola elástica ideal e oscilam livremente em um plano liso com período T. A seguir, o sistema é comprimido contra uma parede por uma força F atuando sobre a massa M, conforme ilustra a figura abaixo. Nessa situação, a mola é sujeita a uma compressão l com respeito ao seu comprimento natural. Em um determinado instante, a massa M é liberada e o sistema entra em movimento. Assinale a alternativa que contém a máxima velocidade atingida pelo centro de massa o movimento subsequente.

$frac{2 pi l}{T}$

$frac{2 pi l}{3T}$

$sqrt{frac{8}{3}} cdot frac{ pi l}{T}$

$sqrt{frac{8}{27}} cdot frac{ pi l}{T}$

Gabarito:

$sqrt{frac{8}{27}} cdot frac{ pi l}{T}$

Resolução:

Primeiro vamos calcular a massa reduzida do sistema:

$M_r = frac{2M.M}{2M+M} Rightarrow M_r = frac{2M}{3}$

Agora vamos calcular a velocidade do bloco M, pela conservação da energia mecânica, no instante em que a mola assume o comprimento natural. Isto é, o bloco de massa 2 M ainda não está se movimentando e a parede deixa de exercer força sobre o sistema.

$frac{kl^2}{2}= frac{M.v^2}{2} Rightarrow v=l sqrt{frac{k}{M}} (I)$

Após esse instante haverá conservação da quantidade de movimento. E podemos escrever:

$3Mv_{cm} = Mv$ .

$v_{cm} = frac{l}{3}cdotsqrt{frac{k}{M}}$

Agora sabendo que a oscilação de um sistema massa mola tem o período escrito como:

$T= 2 pi sqrt{frac{M_r}{k}} = 2 pi sqrt{frac{2M}{3k}}= pi sqrt{frac{8M}{3k}}$

$frac{T}{pi}= sqrt{frac{8}{3}} sqrt{frac{M}{K}} Rightarrow sqrt{frac{k}{M}}= frac{pi}{T}. sqrt{frac{8}{3}} (II)$

Substituindo (II) na expressão da velocidade do centro de massa temos:

$v_{cm} = frac{lpi }{3T} sqrt{frac{8}{3}} = frac{lpi }{T} sqrt{frac{8}{27}}$

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