Questão 2

ITA 2022

Física

(ITA - 2022 - 2ª fase)

Existe um limite inferior da distância Terra-Lua para que o nosso satélite não se desintegre por efeitos de maré. Para determinar uma expressão aproximada dessa distância, considera a Lua como a composição de dois semi-satélites esféricos idênticos, homogêneos e em contato. Os corpos descritos realizam um movimento circular ao redor da Terra, cuja massa é dada por $M_{T}$ , com os três centros sempre colineares. A estabilidade da Lua é associada à tendência natural dessas duas metades manterem o contato entre si por efeitos gravitacionais. Considerando que o raio da lua $R_{L}$ é muito menor do que a distância Terra-Lua $D$ e que $M_{T}$ é muito maior que a massa da Lua $M_{L}$ , faça o que se pede.

Caso necessário, use: $(1+x)^{n}approx 1+nx$ , se $|x| ll 1$ .

(a) Considerando que os semi-satélites têm a mesma densidade da Lua, determine os seus raios $r$ e massas $m$ . Deixe sua resposta em termos dos dados do enunciado.

(b) Estime o valor mínimo de $D$ para que a Lua não se desintegre. Deise sua resposta em termos de $M_{T}$ , $m$ e $r$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Como a Lua foi dividido em dois satélites iguais, e manteve a densidade da lua, isso significa que a massa deles é a massa da lua dividido por 2:

$m_s =frac{m_L}{2}$

Assim podemos escrever a densidade como:

$ho = frac{m}{V} Rightarrow V= frac{m}{ ho } Rightarrow frac{4 pi R^3}{3} = frac{m}{ ho} Rightarrow R^3 = frac{3m}{4 pi ho}$

Assim para o satélite temos que:

$R_s^3 = frac{3m_s}{4 pi ho}$

Substituindo

$R_s^3 = frac{3(frac{m_L}{2})}{4 pi ho} Rightarrow R= frac{R_L}{sqrt[3]{2}}$

b) Vamos considerar as seguintes forças:

$F_1= frac{GM_s M_T}{(D+R)^2} approx frac{GM_sM_T}{D^2}(1-frac{2R}{D})$

$F2=F4=frac{GM_S^2}{(2R)^2}$

$F_3= frac{GM_s M_T}{(D-R)^2} approx frac{GM_sM_T}{D^2}(1+frac{2R}{D})$

Dessa forma para que os satélites fiquem unidos a seguinte desigualdade deve ser verdadeira:

$F3-F4< F1+F2 Rightarrow F3-F1<2F2$

$frac{GM_sM_T}{D^2}(1+frac{2R}{D}) -frac{GM_sM_T}{D^2}(1-frac{2R}{D})<2frac{GM_S^2}{(2R)^2}$

$frac{GM_T}{D^2}(frac{4R}{D})< frac{M_S}{2R^2} Rightarrow D^3= frac{8R^3GM_T}{M_S} Rightarrow D= 2Rsqrt frac{GM_T}{M_S}$

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