Questão 2015

UFU 2015

Matemática

(UFU - 2015 - 1ª FASE)

O gráfico da função de variável real , em que a , b e c são constantes reais, é uma parábola. Sabe-se que a função apresenta o gráfico que segue:

Nessas condições, o produto entre os valores da abscissa e da ordenada do vértice da parábola representando f(x) é igual a

A

18.

B

6,5.

C

9.

D

4,5.

Gabarito:

4,5.

Resolução:

1) Quando x=0, g(x)=-5:

Como $g(x) = 2 cdot f(x+1)$

$-5 = 2.f(0+1)$

$f(1) = -frac{5}{2}$

2) Quando x=-5, g(x)=0

Como $g(x) = 2 cdot f(x+1)$

$0 = 2 cdot f(-5+1)$

$f(-4) = 0$

3) Quando x=1, g(x)=0

Como $g(x) = 2 cdot f(x+1)$

$0 = 2 cdot f(1+1)$

$f(2) = 0$

4) Temos 3 pontos da função f(x), com isso podemos realizar substituições:

4.1) $f(2) = 0$

$f(x) = ax^2 + bx + c$

$0= a cdot 2^2 + b cdot 2 + c$

$4a+2b+c=0$

4.2) $f(-4) = 0$

$f(x) = ax^2 + bx + c$

$0= a cdot (-4)^2 + b cdot (-4) + c$

$16a-4b+c=0$

4.3) $f(1) = -frac{5}{2}$

$f(x) = ax^2 + bx + c$

$-frac{5}{2} = a cdot 1^2 + b cdot 1 + c$

$-frac{5}{2} = a + b + c$

4.4) Com isso, temos o sistema de equações:

$4a+2b+c=0$

$16a-4b+c=0$

$a + b + c = -frac{5}{2}$

5) Isolando a da primeira equação ( $4a+2b+c=0$ ) e substituir nas outras equações:

$a=-frac{2b+c}{4} ightarrow$

$16left(-frac{2b+c}{4} ight)-4b+c=0$

$-frac{2b+c}{4}+b+c=-frac{5}{2}$

6) Isolando b da segunda equação ( $16left(-frac{2b+c}{4} ight)-4b+c=0$ ) e e substituir na outra equação:

$b=-frac{c}{4} ightarrow$

$-frac{2left(-frac{c}{4} ight)+c}{4}-frac{c}{4}+c=-frac{5}{2}$

7) Encontrando o valor de c:

c=-4

O valor de b: 1

O valor de a: $frac{1}{2}$

8) Logo, f(x) será:

$f(x) = frac{x^2}{2} + x -4$

9) Encontrando o vértice da parábola:

$x_v=-frac{b}{2a} = -frac{1}{2left(frac{1}{2} ight)} = -1$

$y_v=frac{1cdot left(-1 ight)^2}{2}-1-4 = -4,5$

10) o produto entre os valores da abscissa e da ordenada do vértice da parábola será -1 . -4,5 = 4,5

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