Questão 39

UFU 2015

Matemática

(UFU - 2015 - 1ª FASE)

O comandante de um navio fez, pela primeira vez, uma rota retilínea AC orientado por um farol F, localizado numa ilha. Ele pretendia determinar as distâncias do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F. No início da viagem, o comandante obteve a medida FAC=30° e, após percorrer 6 milhas marítimas, localizando-se em B, ele fez a medição do ângulo FBC, obtendo 60°. Observe a figura a seguir que ilustra esta situação.

De acordo com as informações, as distâncias, em milhas, do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F, obtidas pelo comandante foram, respectivamente,

Gabarito:

Resolução:

$widehat{A} = 30^o$

$widehat{B} = 60^o$

$widehat{x} + 60^o = 180^o$

$widehat{x} = 180^o -60^o = 120^o$

Se $widehat{x} = 120^o$ e $widehat{A} = 30^o$ , então $widehat{F}=30^o$

$AB= 6 milhas$

Como a ângulos iguais se opõem lados iguais, $AB= BF = 6 milhas$ .

Pela Lei dos senos, temos:

$frac{AB}{senwidehat{F}} = frac{AF}{senwidehat{x}}$

$frac{6}{sen30^o} = frac{AF}{sen120^o}$

$sen120^o = sen60^o = frac{sqrt{3}}{2}$

$frac{6}{frac{1}{2}} = frac{AF}{frac{sqrt{3}}{2}}$

$frac{6}{1}cdotfrac{2}{1} = frac{AF}{1}cdotfrac{2}{sqrt{3}}$

$12= frac{2AF}{sqrt{3}}$

$AF=frac{12cdotsqrt{3} }{2}$

$AF=6sqrt{3}$

A distância de F a AC é dada pelo comprimento de F a F'. Como F' é perpendicular a AC, o ângulo formado em F', $widehat{F} = 90^o$

$frac{BF}{senwidehat{F}} = frac{FF}{senwidehat{B}}$

$frac{6}{sen90^o} = frac{FF}{sen60^o}$

$frac{6}{1} = frac{FF}{frac{sqrt{3}}{2}}$

$6= frac{FF}{1}cdot frac{2}{sqrt{3}}$

$6= frac{2FF}{sqrt{3}}$

$FF= frac{6sqrt{3}}{2}$

$FF= 3sqrt{3}$

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