Questão 2

UFU 2020

Matemática

(UFU - 2020)

Para uma certa receita de floral, a proporção de essência que deve ser diluída em água é de 1 mL de essência para cada 48 mL de água. O recipiente utilizado para a preparação da mistura tem formato de um cone circular reto, cujo raio mede 3 cm e a capacidade total é de 81 mL. O conta-gotas, utilizado para a essência, possui uma haste de borracha e um tubo de vidro (que é ocupado pelo líquido) com formato de um cilindro circular reto e capacidade para 2 mL. Suponha-se que, na preparação de uma mistura, a altura do volume de água no recipiente é de 18/𝜋 cm.

Com base nessas informações, resolva os itens abaixo, justificando suas respostas.

A) Calcule o volume de água no recipiente (use que 1 mL = 1 cm³).

B) Determine a fração da altura do tubo de vidro do conta-gotas (na posição vertical) que deve ser preenchida com essência para a preparação dessa mistura.

Gabarito:

Resolução:

Encontrando a altura do cone:

$81 = frac{pi cdot 3^2 cdot h}{3}$

$h = frac{27}{pi}$

Fazendo uma semelhança entre os cones (o menor e o maior):

$k= frac{frac{27}{pi}}{frac{18}{pi}}$

$k= frac{27}{18}$

$k= frac{3}{2}$

Logo, o volume do cone menor deve respeitar a proporção $k^3$ pois estamos tratando de uma unidade de medida de dimenção 3, desse modo, vamos encontrar o volume do cone menor:

$frac{81}{v} = k^3$

$frac{81}{v} = frac{27}{8}$

$frac{3}{v} = frac{1}{8}$

$v = 24$ mL

Chamando a altura original do conta gotas de H e a atual de h, vamos fazer por regra de três:

$frac{1}{x}= frac{48}{24}$

$x = frac{1}{2}$ mL

Sabemos que:

$V =2$ mL $Rightarrow A_b cdot H = 2$

$v = frac{1}{2}$ mL $Rightarrow A_b cdot h = frac{1}{2}$

Então:

$A_b= frac{1}{2h}$

Substituindo na primeira:

$frac{1}{2h} cdot H = 2$

$frac{H}{4} = h$

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