ITA 2021

Questão 67267

IME
  1. Matemática
  2. Matemática

(IME - 2021/2022)  Em um triângulo de vértices A (0, 0), B (2, 4) e C (6, 0), torna-se um ponto variável M sobre o lado AB. Desse ponto, traça-se a perpendicular ao lado AC que intercepta em Q. 
Identifique o lugar geométrico descrito pelo ponto de interseção das retas BQ e CM e escreva a sua equação. 

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Questão 67268

IME
  1. Matemática
  2. Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase)

Seis irmãos conversavam quando um deles, Matias, enunciou: a soma das idades de todos nós é cinco vezes a minha idade atual e sou seis anos mais novo que Sófocles. Quando Sófocles tiver três vezes a minha idade atual, constataremos que:

  • a soma da minha idade com a de Dâmocles será igual à soma da idade atual dos irmãos de César;
  • a idade de Erastóstenes será três vezes a idade dele atual; e
  • a idade do Lutero será duas vezes a idade atual do Sófocles, mais um ano.

Diante do exposto, qual é a soma das idades atuais de Sófocles e Matias?

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Questão 67269

IME
  1. Matemática
  2. Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase) 

Em uma sala com 11 estudantes, um professor decidiu aplicar um trabalho dividindo aleatoriamente a turma em três grupos de 3 estudantes e um grupo de 2 estudantes. Sabendo que na turma há um casal, qual é a probabilidade de que o mesmo faça o trabalho junto?

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Questão 67270

IME
  1. Matemática
  2. Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase)  Determine o subconjunto de mathbb{R} que corresponde à solução da equação:

4^{log_2sen(x)}+ log_4^{cos(2x)}+ frac{x}{sqrt{4x^2}}=0

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Questão 67271

IME
  1. Matemática
  2. Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase)

Sabendo-se que frac{sen^4alpha}{a} +frac{cos^4alpha}{b} = frac{1}{a+b} com a eq 0, b eq 0 e a + b eq 0, determine frac{sen^8alpha}{a^3} + frac{cos^8alpha}{b^3} em função de a e b somente.

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Questão 67272

IME
  1. Matemática
  2. Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase) 

Sejam os pontos a e b, no plano complexo, representados pelos números a = 9 + xi e b = y + 3i, onde i é a unidade imaginária tal que i2 = -1. O ponto a é a rotação de 30º do ponto b em torno da origem no sentido anti-horário. Determine o valor do produto xy. 

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Questão 67273

IME
  1. Matemática
  2. Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase)

Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e o ponto Q médio de AB. O ponto P sobre a aresta AB, entre Q e A é projetado nas arestas AC e AD, sobre os pontos M e M', respectivamente, e também nas arestas BC e BD, sobre os pontos N e N', respectivamente. O plano M M' N N' divide o tretaedro em dois volumes com razão de 1 para 4. Determine QP em função de a. 

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Questão 67274

IME
  1. Matemática
  2. Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase) Seja um triângulo acutângulo igtriangleup ABC onde h_B e h_C são as alturas dos vértices B e C, respectivamente, e overline{BC} = a. Sabendo-se que frac{h_Bh_C}{a^2} = frac{sqrt{6}}{4} e cos hat{A} + cos hat{B}cos hat{C} = frac{p}{qsqrt{m}}, calcule p+q+m.

Dados:

  • p, q e m são números naturais;
  • p e q são primos entre si; e
  • m é o menor possível.

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Questão 67275

IME
  1. Matemática
  2. Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase)

Considere o sistema a seguir egin{cases} 3x + 2y - z = ky \ (1 - k)x - y + 4z = 0 \ 2x + y - kz = z end{cases}

Determine o menor valor da constante real k que torna o sistema inderteminado. Para esse valor de k, encontre a solução x, y, z do sistema acima que minimiza o valor de 

(x-z)^2 + e^{x+y}-4|x|-2y

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Questão 67300

IME
  1. Física
  2. Física

(IME - 2021/2022 - 2ª fase) 

Um sistema planetário hipotético é composto por uma estrela (S1) e dois planetas com órbitas elípticas de excentricidade tão pequenas que são aproximadas por circunferências no mesmo plano. Seus sentidos de translação são opostos, tal que o Planeta 1 (P1) orbita no sentido horário, enquanto o Planeta 2 (P2) no sentido anti-horário. 

P2 possui partículas de óxido de ferro em suspensão na sua atmosfera. Essas partículas absorvem a luz de S1 e irradiam uma luz colorida, cujos fótons possuem energia E. O povo de P1 é bastante desenvolvido tecnologicamente e decide lançar uma espaçonave, tangencialmente a sua própria órbita, para visitar P2. Para isso, de forma que chegue ao ponto futuro de P2, mantém uma trajetória retilínea, conforme mostra a figura.

Dados:

• Planeta 1: distância orbital R1 ; velocidade orbital escalar v1 = 60√ 2 km/s;

• Planeta 2: distância orbital R2 = 2 x R1 ;

• energia dos fótons: E = 3,125 × 10−19 J;

• espaçonave: gera uma aceleração, a partir de P1 , de ae = 180√ 2 m/s2 , durante 6,4 horas. Depois disso, mantem velocidade constante até se aproximar de P2;

• velocidade da luz no vácuo: c = 3 × 105 km/s; e

• constante de Planck: h = 6,63 × 10−34 J·s.

Diante do exposto, determine:

a) a velocidade orbital escalar de P2 (v2), em km/s;

b) a cor da luz emitida por P2, observada de P1, quando ambos os planetas estiverem alinhados com S1 (use a tabela e desconsidere a possibilidade de eclipse); e

c) a cor da luz de P2, observada da espaçonave, quando estiver proxima de P2

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