Questão 32

FUVEST 2007

Matemática

(FUVEST - 2007 - 1a fase) Na figura, OAB é um setor circular com centro em O, ABCD é um retângulo e o segmento CD é tangente em X ao arco de extremos A e B do setor circular. Se $AB=2sqrt{3}$ e AD=1, então a área do setor OAB é igual a

$frac{pi}{3}$

$frac{2pi}{3}$

$frac{4pi}{3}$

$frac{5pi}{3}$

$frac{7pi}{3}$

Gabarito:

$frac{4pi}{3}$

Resolução:

Para determinar a área do setor, precisamos seccionar a figura em figuras que iremos conseguir calcular as medidas.
Como $overline{AO}=overline{BO}=overline{OX}=R$ , então podemos fazer o seguinte:

Com isso, o triângulo retângulo formado com os vértices O e B e com catetos iguais a R-1 e √3:

Calculando agora, com o teorema de Pitágoras, o valor de R:

$R^2=(R-1)^2+(sqrt{3})^2\R^2=R^2-2R+1+3\2R=4\R=2$

Com isso, neste mesmo triângulo, podemos calcular o valor do ângulo θ:

$sin(frac heta2)=frac{sqrt3}{R}=frac{sqrt3}{2}\sin(frac heta2)=sin(60^o)\frac heta2=60^o\ herefore heta=120^o$

Por fim, calculamos o valor do setor circular A_AOB:

$frac{360^o}{120^o}=frac{pi R^2}{A_{AOB}}\A_{AOB}=frac{120^o}{360^o}cdotpi R^2=frac13cdotpi2^2\ herefore oxed{A_{AOB}=frac{4pi}{3}}$

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