Questão 38

FUVEST 2007

Matemática

(FUVEST - 2007 - 1a fase) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto.

Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros.

Quantas comissões podem ser formadas?

Gabarito:

Resolução:

Temos então dois casos

(i) com a Andréia na comissão:}

9-1-2=6 pessoas disponíveis (pois Andréia já está na comissão e Manoel e Alberto não podem entrar junto com ela) para escolhermos 4 (pois uma das 5 já está lá!). Como a ordem não importa (ou seja, se eu escolher a pessoa A e depois a B, é a mesma coisa se eu escolher a pessoa B e depois a pessoa A), trata-se de uma combinação:

$N_1=C_{4}^{6}=frac{6!}{4!cdot2!}=frac{6cdot5}{2}=15\\$

(ii) sem Andréia na comissão:

9-1=8 pessoas disponíveis (pois Andréia não pode estar na comissão) para escolhermos 5. Assim, também trata-se de uma combinação:

$\\ N_2=C_{5}^{8}=frac{8!}{5!cdot3!}=frac{8cdot7cdot6}{3cdot2}=56\\ ext{Portanto, o total } N ext{ de comissões é dado por:} \\ N=N_1+N_2=15+56=71\\ herefore;;oxed{N=71}$

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