Questão 2

FUVEST 2007

Matemática

(FUVEST - 2007 - 2 fase - Questão 2)

Na figura abaixo, os segmentos AB e CD são paralelos, o ângulo OÂB mede 120º , AO = 3 e AB = 2 . Sabendo-se ainda que a área do triângulo OCD vale $600sqrt{3}$ ,

a) calcule a área do triângulo OAB.

b) determine OC e CD.

Gabarito:

Resolução:

a) Área do triângulo AOB será:

$S=frac{AB.AO.sen120^{circ}}{2}=frac{1}{2}.2.3.frac{sqrt{3}}{2}=frac{3sqrt{3}}{2}$

b) Sendo x=CO e y=CD, por semelhança de triângulos entre AOB e DOC, teremos:

$frac{3}{x}=frac{2}{y}Leftrightarrow y=frac{2x}{3}$

Por outro lado a área do triângulo COD é igual à $600sqrt{3}$ . Logo

$frac{1}{2}.x.y.sen120^{circ}=600sqrt{3}Leftrightarrow frac{1}{2}.x.frac{2x}{3}.frac{sqrt{3}}{2}=600sqrt{3}$

$x^{2}=3600Leftrightarrow x=60$ pois x maior que 0 e $y=frac{2.60}{3}=40$

$a)$ A área do triângulo $AOB$ é:

$S=frac{AB.AO.sen120^{circ}}{2}=frac{1}{2}.2.3.frac{sqrt{3}}{2}=frac{3sqrt{3}}{2}$

$b)$

Sendo $x=CO$ e $y=CD$ , por semelhança dos triângulos $AOB$ e $DOC$ , temos que:

$frac{3}{x}=frac{2}{y}Leftrightarrow y=frac{2x}{3}$

Por outro lado, a área do triângulo $COD$ é igual à $600sqrt{3}$ . Dessa forma: $frac{1}{2}.x.y.sen120^{circ}=600sqrt{3}Leftrightarrow frac{1}{2}xfrac{2x}{3}frac{sqrt{3}}{2}=600sqrt{3}Leftrightarrow x^{2}=3600Leftrightarrow x=60$ ,

pois $x> 0$ e $y=frac{2.60}{3}=40$

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