Questão 4

FUVEST 2007

Matemática

(FUVEST - 2007 - 2 fase - Questão 4)

A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e CD, inscrito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézio.

Sabe-se que AB = 4, CD = 2 e AC = $3sqrt{2}$ .

a) Determine a altura do trapézio.

b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está inscrito.

c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência.

Gabarito:

Resolução:

a) Considerando h como a medida da altura do trapézio. No triângulo retângulo AHC, teremos:

$h^{2}+3^{2}=(3sqrt{2})^{2}Leftrightarrow h^{2}=9Leftrightarrow h=3$

b) Considerando r como a medida do raio da circunferência. Pelos triângulos $AMO$ e $DNO$ , teremos:

$left{egin{matrix} r^{2}=x^{2}+2^{2}\ r^{2}=1^{2}+(h-x)^{2} end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} r^{2}=x^{2}+4\ r^{2}=1^{2}+(3-x)^{2} end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} r^{2}=x^{2}+4\ r^{2}=1+9-6x+x^{2} end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} r^{2}=x^{2}+4\ x^{2}+4=10-6x+x^{2} end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} x=1\ r=sqrt{5} end{matrix} ight.$ , pois $r> 0$

Considerando $S$ a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência, teremos:

$S=S_{Circulo}-S_{Trapezio}=pi .(sqrt{5})^{2}-frac{(4+2).3}{2}=5pi -9$

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