Questão 9

FUVEST 2007

Matemática

(FUVEST - 2007 - 2 fase - Questão 9)

a) Represente, no sistema de coordenadas, os gráficos das funções $f(x)=|4-x^2|$ e $g(x)=frac{x+7}{2}$

b) Resolva a inequação $|4-x^2|leq frac{x+7}{2}$

Gabarito:

Resolução:

O gráfico da equação $h(x)=4-x^{2}$ será do tipo:

O gráfico de $f(x)=|4-x^{2}|$ resulta em:

O gráfico de $g(x)=frac{x+7}{2}$ será:

As abscissas dos pontos de intersecção dos dois gráficos são as soluções da equação:

$f(x)=g(x)Leftrightarrow |4-x^{2}|=frac{x+7}{2}$

Para $xleq 2$ ou $xgeq 2$ , teremos:

$-4+x^{2}=frac{x+7}{2}Leftrightarrow -8+2x^{2}=x+7$

$Leftrightarrow 2x^{2}-x-15=0Leftrightarrow x=frac{-5}{2}$ ou $x=3$

Para $-2leq xleq 2$ ,resultará em:

$4-x^{2}=frac{x+7}{2}Leftrightarrow 8-2x^{2}=x+7$

$Leftrightarrow 8-2x^{2}=x+7$

$Leftrightarrow -2x^{2}-x+1=0Leftrightarrow x=-1$ ou $x=frac{1}{2}$

Representando os dois gráficos em um mesmo sistema de coordenadas, resultará:

$b)$

Analisando os gráficos realizados no item anterior, com as correspondentes abscissas dos pontos comuns, iremos concluir que:

$|4-x^{2}|leq frac{x+7}{2}Leftrightarrow f(x)geq g(x)Leftrightarrow frac{-5}{2}leq xleq -1$ ou $frac{1}{2}leq xleq 3$

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