Questão 10

FUVEST 2007

Matemática

(FUVEST - 2007 - 2 fase - Questão 10)

O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento a. O ponto M está na aresta AE e AM = 3 ⋅ ME.

Calcule:

a) O volume do tetraedro BCGM.

b) A área do triângulo BCM.

c) A distância do ponto B à reta suporte do segmento CM .

Gabarito:

Resolução:

Vendo que $AM+ME=a$ e $AM=3ME$ , teremos:

$AM=frac{3a}{4}$ e $ME=frac{a}{4}$

a) O volume V do tetraedro BCGM é um terço do produto entre o triângulo BCG e a distância a, do ponto M ao plano que contém o triângulo BCG.

Portanto:

$V=frac{1}{3}(frac{a.a}{2}).a Rightarrow V=frac{a^{3}}{6}$

$(BM)^{2}=a^{2}+(frac{3a}{2})^{2}Leftrightarrow (BM)^{2}=frac{25a^{2}}{16}Leftrightarrow BM=frac{5a}{4}$

Portanto, a área S do triângulo retângulo BCM será:

$S=frac{BM.BC}{2}Leftrightarrow S=frac{frac{5a}{4}a}{2}Leftrightarrow S=frac{5a^{2}}{8}$

$(CM)^{2}=(BM)^{2}+(BC)^{2}Leftrightarrow (CM)^{2}=(frac{5a}{4})^{2}+a^{2}Leftrightarrow CM=frac{asqrt{41}}{4}$

A distância d entre o ponto B e a reta CM é a medida da altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo BCM. Logo:

$CM.d=BM.BCLeftrightarrow frac{asqrt{41}}{4}.d=frac{5a}{4}a$

$d=frac{5asqrt{41}}{41}$

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