Questão 6

IME 2008

Matemática

(IME - 2008/2009) Um triângulo ABC apresenta lados a, b e c. Sabendo que $hat{B}$ e $hat{C}$ são, respectivamente, os ângulos opostos aos lado b e c, o valor de $frac{tg hat{B}}{tghat{C}}$ é

$frac{a^{2} - b^{2} + c^{2}}{a^{2} + b^{2} - c^{2}} frac{c}{b}$

$frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2} + c^{2}}$

$frac{a^{2} - b^{2} +c^{2}}{a^{2} + b^{2} - c^{2}}$

$frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2} + c^{2}} frac{c}{b}$

$frac{b}{c}$

Gabarito:

$frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2} + c^{2}}$

Resolução:

Pela lei dos cossenos :

$b^{2} = a^{2} + c^{2} -2accdot coshat{B} ightarrow coshat{B} =frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} ...(I)$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} -2accdot coshat{C} ightarrow coshat{C}; = frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} ...(II)$

Pela lei dos senos : $frac{B}{sen: hat{B}} = frac{c}{sen; hat{C}} ightarrow frac{sen: hat{B}}{sen; hat{C}} = frac{b}{c}...(III)$

$frac{tg; hat{B}}{tg : hat{C}} =frac{senhat{B} cdot coshat{C} }{coshat{B}cdot senhat{C}} = frac{coshat{C} }{coshat{B}} cdot frac{coshat{B} }{coshat{C}}...(IV)$

Substituindo $(I)(II)(III); em : (IV)$ :

$frac{tg; hat{B}}{tg : hat{C}} = frac{frac{a^{2}+ b^{2}-c^{2}}{2ab}}{frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}} cdot frac{b}{c} = frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{b} cdot frac{c}{a^{2}+c^{2}-b^{2}} cdot frac{b}{c} = frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}$

Alternativa letra B

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