Questão 7

IME 2008

Matemática

(IME - 2008/2009) Os centros das faces de um tetraedro regular são os vértices de um tetraedro interno. Se a razão entre os volumes dos tetraedros interno e original vale $frac{m}{n}$ , onde m e n são inteiros positivos primos entre si, o valor de m + n é

Gabarito:

Resolução:

As faces do tetraedro original são triângulos equiláteros, então a distância de cada vértice do tetraedro interno à base de cada triângulo é $frac{1}{3}$ da altura desse triângulo. Dessa forma, por semelhança, é notado que a aresta do tetraedro interno mede $frac{1}{3}$ da aresta do tetraedro externo. Assim:

$frac{V_{interno}}{V_{externo}}=frac{frac{A_{interna}cdot h}{3}}{frac{A_{externa}cdot H}{3}}$

$frac{V_{interno}}{V_{externo}}=left ( frac{1}{3} ight )^2cdot frac{1}{3}$

$frac{V_{interno}}{V_{externo}}= frac{1}{27}=frac{m}{n}$

$m+n=27+1=28$

Alternativa correta é Letra C.

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