Questão 1

IME 2008

Matemática

(IME - 2008/2009) Sabe-se que:

$a = [a] + {a}, forall a in Re$ , onde [a] é a parte inteira de a

$left{egin{matrix} x &+ [y] &+ {z} &=4,2 \ y & +[z] &+ {x} &= 3,6 \ z & + [x] &+ {y} &=2 end{matrix} ight. com x,y e z in Re$

Determine o valor de x-y+z

Gabarito:

Resolução:

Somando as três equações, membro a membro, temos:

$x+[x]+left { x ight }+y+[y]+left { y ight }+z+[z]+left { z ight } = 9,8$

Conforme dito no enunciado que $a = [a]+left { a ight }$ , teremos que:

$2cdot (x+y+z) = 9,8 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow x+y+z = 4,9$

Chamando essa equação de (iv) e as equações do sistema de (i), (ii) e (iii). Além disso, temos que $a - left { a ight } = [a]$ e $a - [a] = left { a ight }$ .

Subtraindo a equação (iv) da (i), temos:

$y - [y] + z - left { z ight } = 0,7 Leftrightarrow left { y ight } + [z] = 0,7$

$[z] = 0$ e $left { y ight } = 0,7$

Subtraindo a equação (iv) da (ii), temos:

$z - [z] + x - left { x ight } = 1,3 Leftrightarrow left { z ight } + [x] = 1,3$

$[x] = 1$ e $left { z ight } = 0,3$

Subtraindo a equação (iv) da (iii), temos:

$x - [x] + y - left { y ight } = 2,9 Leftrightarrow left { x ight } + [y] = 2,9$

$[z] = 2$ e $left { y ight } = 0,9$

Assim, determinamos x, y e z:

$x = [x] + left { x ight } = 1 + 0,9 = 1,9$

$y = [y] + left { y ight } = 2 + 0,7 = 2,7$

$z = [z] + left { z ight } = 0 + 0,3 = 0,3$

Logo:

$x - y + z = 1,9 - 2,7 +0,3 Leftrightarrow x-y+z = -0,5$

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