Questão 3

IME 2008

Matemática

(IME - 2008/2009) Sabe-se que $z_{1} overline{z_{2}} = frac{z_{3}}{z_{4}}$ e $|z_{3} + z_{4}| - |z_{3} - z_{4} | = 0$ sendo z₁, z₂, z₃, e z₄números complexos diferentes de zero. Prove que z₁e z₂são ortogonais.

Obs.: números complexos ortogonais são aqueles cujas representações gráficas são perpendiculares entre si e $overline{z}$ é o número complexo conjugado de z.

Gabarito:

Resolução:

Desenvolvendo a equação inicial, temos:

$|z_3 + z_4| - |z_3 - z_4| = 0 Leftrightarrow |z_3 + z_4| = |z_3 - z_4|$

Dividindo a equação por $|z_4|$ , teremos:

$|frac{z_3}{z_4} + 1| = |frac{z_3}{z_4} - 1|$

Substituindo $z_1overline{z_2} = frac{z_3}{z_4}$ , temos:

$|z_1overline{z_2}+ 1| = |z_1overline{z_2} - 1|$

Seja $z_1overline{z_2} = a + bi$ , conseguimos calcular o módulo, obtendo:

$|a+bi+ 1| = |a+bi- 1| Leftrightarrow$

$Leftrightarrow sqrt{(a+1)^2+b^2}=sqrt{(a-1)^2+b^2} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow a^2 + 2a + 1 + b^2 = a^2 - 2a + 1 + b^2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 4a = 0 Leftrightarrow a = 0$

Desse modo fica claro que $z_1overline{z_2}$ é um número sem parte real, portanto, imaginário puro.

Colocando $z_1$ e $z_2$ na forma trigonométrica, temos:

$z_1 = ho_1(cosalpha + isenalpha)$ e $z_2 = ho_2(coseta + iseneta)$

$overline{z_2} = ho_2(cos(-eta) + isen(-eta))$

$z_1overline{z_2} = ho_1 ho_2(cos(alpha-eta) + isen(alpha-eta))$

$Re(z_1overline{z_2}) = ho_1 ho_2(cos(alpha-eta)) = 0$

Como $ho_1$ e $ho_2$ são diferentes de zero, temos que:

$cos(alpha-eta) = 0 Leftrightarrow alpha = eta + frac{pi}{2} + kpi ext{, }kinmathbb{Z}$

Considerando a primeira volta e a representação geométrica, a relação entre os argumentos $alpha$ e $eta$ será dada por:

$alpha = eta pm frac{pi}{2}$

Provando assim a ortogonalidade.

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