Questão 5

IME 2008

Matemática

(IME - 2008/2009) Seja G o ponto de interseção das medianas de um triângulo ABC com área S. Considere os pontos A’, B’ e C’ obtidos por uma rotação de 180º dos pontos A, B e C, respectivamente, em torno de G. Determine, em função de S, a área formada pela união das regiões delimitadas pelos triângulos ABC e A’B’C’.

Gabarito:

Resolução:

Veja a imagema abaixo:

Temos que o baricentro divide a mediana na razão 2 por 1, Com isso:

$ar{AC} // ar{aC}$

Então, $Delta BpQ sim Delta bC$ e $k = frac{1}{3}$

$k^{2} = (frac{1}{3})^{2} = 1/9$

Portanto, temos:

$S_{Delta bPQ} = frac{1}{9} . S_{Delta bAC} = frac{1}{9}. S$

Analogamente, temos:

$S_{Delta bPQ} = S_{Delta SR} = S_{Delta C TU} = 1/9 . S$

$S_{uniao} = S + 1/9 . S + 1/9 . S + 1/9 . S$

$S_{uniao} = frac{4}{3}S$

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