Questão 6

IME 2008

Matemática

(IME - 2008/2009) Resolva a seguinte inequação, para 0 ≤ x < 2π :

$frac{3sen^{2}x +2cos^{2}x+4senx-(1+4sqrt{2})senxcosx +4cosx -(2+2sqrt{2})}{2senx -2sqrt{2}senxcosx+2cosx-sqrt{2}} >2$

Gabarito:

Resolução:

$frac{3sen^{2}x +2cos^{2}x+4senx-(1+4sqrt{2})senxcosx +4cosx -(2+2sqrt{2})}{2senx -2sqrt{2}senxcosx+2cosx-sqrt{2}} >2$

$frac{2+ sen^{2}x + 4senx - senxcosx -4sqrt{2}senxcosx + 4cosx -2-2sqrt{2}-2(2senx -2sqrt{2}senxcosx +2cosx-sqrt{2})}{2senx(-sqrt{2}cosx +1)-sqrt{2(1-sqrt{2}cosx)}}$ > 0

$frac{2+ sen^{2}x + 4senx - senxcosx -4sqrt{2}senxcosx + 4cosx -2-2sqrt{2} -4senx + (4sqrt{2}senxcosx)-4cosx +2sqrt{2}}{(2senx - sqrt{2})(1-sqrt{2cosx})}$ > 0

Simplificando a inequação acima, temos:

$frac{sen^{2}x - senxcosx}{(2senx - sqrt{2})(1-sqrt{2}cosx)} > 0$

$frac{senx(senx - cosx)}{(2senx - sqrt{2})(1-sqrt{2}cosx)} > 0$

Como temos que:

$sqrt{2}(senxfrac{sqrt{2}}{2})-cosxfrac{sqrt{2}}{2} = sen(x-frac{pi}{4}).sqrt{2}$ , portanto:

$frac{senx[sen(x-frac{pi}{4})]}{(2senx -sqrt{2})(1-sqrt{2}cosx)}> 0$

Iremos analisar o sinal dos termos acima, então:

y = sen x

$sen(x-frac{pi}{4})$

$y = (2senx - sqrt{2})$

$y = (1-sqrt{2}cosx)$

Portanto, podemos montar uma tabela:

Solução:

$S = ] frac{pi}{4}, frac{3pi}{4} [ U ] pi, frac{5pi}{4} [ U ] frac{7pi}{4} , 2pi[$

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