Questão 7

IME 2008

Matemática

(IME - 2008/2009) Seja um cubo de base ABCD com aresta a. No interior do cubo, sobre a diagonal principal, marca-se o ponto V, formando-se a pirâmide VABCD. Determine os possíveis valores da altura da pirâmide VABCD, em função de a, sabendo que a soma dos quadrados das arestas laterais da pirâmide é igual a ka² , sendo k um número primo.

Obs.: as arestas laterais da pirâmide são VA, VB, VC e VD.

Gabarito:

Resolução:

De acordo com a imagem abaixo, temos:

$ar{AV}^{2} = (a-x)^{2} + (a-x)^{2} + x^{2}$

$ar{BV}^{2} = (a-x)^{2} + x^{2} + x^{2}$

$ar{CV}^{2} = x^{2} + x^{2} + x^{2}$

$ar{DV}^{2} = (a-x)^{2} + x^{2} + x^{2}$

Temos então que:

$S = 12x^{2} -8ax +4a^{2}$

$12x^{2} -8ax +4a^{2} = Ka^{2}$

$12x^{2} -8ax +4a^{2} - Ka^{2} = 0$

$Delta = 64a^{2} -48(4a^{2} -ka^{2}) geq 0$

$k geq frac{8}{3}$

Substituindo os valores em K, temos que:

$K = 3$

$12x^{2} -8ax + a^{2} = 0$

$x = frac{a}{6} e x = frac{a}{2}$

___________________________

$k = 5$

$12x^{2} -8ax + a^{2} = 0$

$x = frac{2+sqrt{7}}{6}.a$

__________________________

$k = 7$

$12x^{2} -8ax + a^{2} = 0$

$x = frac{2 + sqrt{13}}{6}.a$

_______________________

$k geq 11 \ \ x > a$

Os possíveis valores da altura será:

$frac{a}{6} , frac{a}{2} , frac{a}{6} . (2 + sqrt{7}) , frac{a}{6}(2 +sqrt{13})$

Questões relacionadas

Questão 12

(IME - 2008/2009) É dada uma PA de razão . Sabe-se que o quadrado de qualquer número par , , pode ser expresso como a soma dos n primeiros termos...

Questão 10

(IME - 2008/2009) Seja a uma constante real positiva, resolva a equação:

Questão 1

(IME - 2008/2009) Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operação ∆, definida por X ∆ Y = (X – Y) U (Y – X). Pode-se afirmar que

Questão 2

(IME - 2008/2009) Seja ⋅ e um número complexo onde ρ e θ são, respectivamente, o módulo e o argumento de z e i é a unidade imaginária. Sabe-se q...