Questão 8

IME 2008

Matemática

(IME - 2008/2009) Dada uma matriz quadrada A de ordem n, definida da seguinte forma:

• os elementos da linha i da coluna n são da forma $a_{in} = - egin{pmatrix} n\n-i+1 end{pmatrix}$ ;

• os elementos imediatamente abaixo da diagonal principal são unitários, isto é, 1 a_ij = para i − j = 1;

• todos os demais elementos são nulos.

Sendo I a matriz identidade de ordem n e det(M) o determinante de uma matriz M, encontre as raízes da equação det(x ⋅I − A) = 0 .

Gabarito:

Resolução:

Temos que: $x.I = A$

$A = egin{pmatrix} x & 0 & 0 & 0 & ... &inom{n}{n} \ -1 & x & 0 &0 &... &inom{n}{n-1} \ 0 &-1 & x & 0 &... & inom{n}{n-2} \ 0& 0& -1& x& ...&inom{n}{n-3}\ vdots & vdots & vdots & vdots &ddots & vdots \ 0 &0 & 0 & 0 & ... &inom{n}{1} end{pmatrix}$

Iremos aplicar Laplace na 1ª linha várias vezes, com isso vamos ter:

$det (x.I - A) = inom{n}{n} + inom{n}{n-1} . x + inom{n}{n-2}.x^{2} + ...+ inom{n}{n}.x^{n}$

$det (x.I - A) = (x+1)^{n}$

Portanto, a equação acima é igual a zero e admite a raiz -1 com multiplicidade n.

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