Questão 9
IME 2008
(IME - 2008/2009) A figura abaixo é composta de 16 quadrados menores. De quantas formas é possível preencher estes quadrados com os números 1, 2, 3 e 4, de modo que um número não pode aparecer 2 vezes em:
• uma mesma linha.
• uma mesma coluna.
• cada um dos quatro quadrados demarcados pelas linhas contínuas.
Gabarito:
Resolução:
Existem 4! = 24 possibilidades para preenchermos o quadrado A com os números 1, 2, 3 e 4. Feito isso, podemos preencher o quadrado D, colocando o 1 em qualquer uma das quatro posições, obtendo uma situação conforme mostra o seguinte esboço:
Observe que a não pode ser 2, já que não teríamos nenhuma opção para x, dessa forma, de maneira análoga, b não pode ser 3, já que não teríamos nenhuma possibilidade para y. Dessa forma, ao escolhermos um valor para c, entre 2, 3 e 4, automaticamente determinamos os valores de a e b, seguindo as restrições apresentadas anteriormente.
Caso tenhamos o número posicionado em outro quadrado menor do quadrado D, teremos uma situação similar a essa proposta, em que teremos a e b determinados pela escolha do elemento c. Dessa forma, teremos um total de maneiras de preenchermos o quadrado D após preenchermos o quadrado A.
Com os quadrados A e D preenchidos, existe apenas uma maneira de preenchermos os demais espaços dos quadrados B e C. Portanto, teremos um total de maneiras possíveis de preenchermos a figura dada no enunciado.