Questão 34782

ITA 2024

Matemática

Considere a matrize A = (a_ij), quadrada de ordem n em que a_ij assume o valor 1, se j é ímpar e a_ij assume o valor -1, se j é par. Considere, também, a matriz B = (b_ij), de ordem n x p, em que b_ij = jⁱ. O elemento da quarta linha e da segunda coluna da matriz produto AB é igual a -2730. O número de linhas da matriz B é

10.

11.

12.

13.

Nenhuma das alternativas anteriores.

Gabarito:

12.

Resolução:

1) O elemento $c_{42}$ da matriz $E=AB$ é dado por:

$l _{A4} cdot c_{B2}$

onde $l _{A4}$ é a 4ª linha de A e $c_{B2}$ é a segunda coluna de B.

2) Assim, temos:

$egin{pmatrix} a_{41} & a_{42} & a_{43} & cdots & a_{4n} end{pmatrix} cdot egin{pmatrix} b_{12}\ b_{22}\ b_{32}\ cdots \ b_{n2} end{pmatrix} = -2730$

3) Como A = (a_ij), quadrada de ordem n em que a_ij assume o valor 1, se j é ímpar e a_ij assume o valor -1, se j é par. Temos que:

$egin{pmatrix} -1 cdot (-1) & -1 cdot (-1)^2 & -1 cdot (-1)^3 & cdots & -1 cdot (-1)^n end{pmatrix} cdot egin{pmatrix} b_{12}\ b_{22}\ b_{32}\ vdots \ b_{n2} end{pmatrix} = -2730$

4) Como na matriz B = (b_ij), de ordem n x p, em que b_ij = jⁱ. Temos que:

$egin{pmatrix} -1 cdot (-1) & -1 cdot (-1)^2 & -1 cdot (-1)^3 & cdots & -1 cdot (-1)^n end{pmatrix} cdotegin{pmatrix} 2^1\ 2^2\ 2^3\ vdots \ 2^n end{pmatrix} = -2730$