Questão 34783

ITA 2024

Matemática

$A = egin{pmatrix} 3 &-4 \ 1 &-1 end{pmatrix}$ ,

então o valor de Aⁿ é

$egin{pmatrix} 3n &-4n \ n &n end{pmatrix}$

$egin{pmatrix} 2+n &5-n \ n &-n end{pmatrix}$

$egin{pmatrix} 3^n &(-4)^n \ 1 &(-1)^n end{pmatrix}$

0 (matriz nula 2x2)

Nenhuma das alternativas anteriores.

Gabarito:

Nenhuma das alternativas anteriores.

Resolução:

Resolução 1:

Fazendo n = 2:

$egin{pmatrix}3&-4\ 1&-1end{pmatrix}^2 = egin{pmatrix}3&-4\ 1&-1end{pmatrix}egin{pmatrix}3&-4\ 1&-1end{pmatrix}$

Resolvendo:

$egin{pmatrix}3cdot :3+left(-4 ight)cdot :1&3left(-4 ight)+left(-4 ight)left(-1 ight)\ 1cdot :3+left(-1 ight)cdot :1&1cdot left(-4 ight)+left(-1 ight)left(-1 ight)end{pmatrix}$

Logo:

$egin{pmatrix}3&-4\ 1&-1end{pmatrix}egin{pmatrix}3&-4\ 1&-1end{pmatrix}=egin{pmatrix}5&-8\ 2&-3end{pmatrix}$

Comparando com as alternativas com n = 2:

a) $egin{pmatrix} 3n &-4n \ n &n end{pmatrix} = egin{pmatrix} 6 &-8 \ 2 &2 end{pmatrix}$ -> Falso

b) $egin{pmatrix} 2+n &5-n \ n &-n end{pmatrix} = egin{pmatrix} 4 &3 \ 2 &-2 end{pmatrix}$ -> Falso

c) $egin{pmatrix} 3^n &(-4)^n \ 1 &(-1)^n end{pmatrix} = egin{pmatrix} 9 &16 \ 1 &1 end{pmatrix}$ -> Falso

d) 0 (matriz nula 2x2) -> Falso

2) Resolução 2: (por indução)

1) Fazendo n=1

$egin{pmatrix}3&-4\ 1&-1end{pmatrix}^1 = egin{pmatrix}3&-4\ 1&-1end{pmatrix}$

2) Fazendo n = 2:

$egin{pmatrix}3&-4\ 1&-1end{pmatrix}^2 = egin{pmatrix}5&-8\ 2&-3end{pmatrix}$

3) Fazendo n = 3:

$egin{pmatrix}3&-4\ 1&-1end{pmatrix}^3 = egin{pmatrix}7&-12\ 3&-5end{pmatrix}$

4) Fazendo n = 4:

$egin{pmatrix}3&-4\ 1&-1end{pmatrix}^4 = egin{pmatrix}9&-16\ 4&-7end{pmatrix}$

5) Fazendo n=n:

$egin{pmatrix}3&-4\ 1&-1end{pmatrix}^n = egin{pmatrix}1+2n&-4n\ n&1-2nend{pmatrix}$

Questão 34783

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