Questão 38

ITA 2024

Matemática

(ITA - 2024)

Sejam A; B; C; D ∈ $M_{n}(mathbb{R})$ . Considere o sistema linear

$left{egin{matrix} AX & =& B\ DX &+Y &=C end{matrix} ight.$

nas variáveis X; Y ∈ $M_{n}(mathbb{R})$ . Considere as afirmações:

I. Se det A = 0 ou det D = 0, então o sistema é impossível.

II. Se A = B, então o sistema possui uma única solução.

III. O sistema possui uma única solução apenas se A e D são inversíveis.

É (São) VERDADEIRA(S):

apenas I.

apenas II.

apenas III.

apenas II e III.

nenhuma.

Gabarito:

nenhuma.

Resolução:

Para resolver essa questão iremos usar contraexemplos:

$I. Falso.$ Iremos usar o seguinte contraexemplo:

$A = B = D = egin{bmatrix} 0 &0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$ e $C = egin{bmatrix} 1 & 5 \ 0 & 4 end{bmatrix}$

Veja que nesse caso o sistema é possível e indeterminado (SPI)

$II. Falso$ . Vamos usar o seguinte contraexemplo:

$A = B = egin{bmatrix} 0 &0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$ Veja que o sistema não vai possuir única solução, pois é bem parecido com o exemplo anterior.

$III. Falso$

Veja o contraexemplo:

$A = B = egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$ e $D = egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$ e $C = egin{bmatrix} 1 & 5 \ 0 & 4 end{bmatrix}$

Temos que nesse caso o sistema é possível e determinado, mas veja que não é inversível.

Portanto, nenhuma resposta é verdadeira. Gabarito: E

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